将来、国公立大学、さらに難関大学を目指すために、新高１の１学期に何をすればいいでしょうか？
英語
大学入試で、最も重要な教科と言っていいでしょう。文系、理系ともに必要です。さらに、苦手にしてしまうと、国公立大学からは遠ざかります。後で取り戻すにも時間がかかります。
まず英単語。学校でする速単、ターゲット、ユメタンなどでいいです。それを、１学期に１巡して覚えましょう。完璧でなくていいので、一通り覚えて下さい。
単語帳など時間がかかることは後でいいので、速くざっと覚えます。テストは自分で作って、覚えたか確認しましょう。
できれば、英熟語までするといいです。
そして、英文法。一つ一つの単元を丁寧に時間をかける必要はありません。薄い問題集でいいです。英文法の高校初級編で、単語同様に１巡することが大切です。
あるいは英文法の参考書で、例題を流して解くのでもいいです。
数学
数学は、理系はもちろんですが、文系でも、国公立大学を目指すなら、共通テストで必須です。
数学は予習が効果的です。学校で習う前に、その単元を教科書で予習していください。一通り読み、例題・練習問題を解きましょう。
内容が理解できないときは、スタディアプリを利用するといいです。また、分からないところは、学校の授業で聞きます。
理系に進み、さらに難関大学を目指す人は、１学期で数ⅠAを仕上げましょう。チャート、NEW ACTION、レジェンドの例題を一通り解きます。基本例題だけでもいいです。
あるいは、教科書が実は最強です。各単元の解説をしっかり解読して、公式を導き出す、原理原則を学び理解すれば、真の実力がつきます。私も、学生時代に、教科書をもらってから、２，３週間で解読して終わらせました。