今回は「比例～中１数学」です。当塾でも、中１数学で「変化と対応」に入ります。この単元では、比例反比例を習います。そして、これが「関数」の始まりです。
関数は意外と難しい？
中１で、この単元でつまづくことが多いです。それまでの方程式に比べると、それほど難しくはなく、できそうですが。
特に、塾での学習は簡略化して予習するため、よく理解しないまま進むことが多いです。比例反比例の式を作ったり、グラフを書いたりなど、問題はその場で解けます。
塾でも、こうやって解くと解法を示せば、真似をすれば作業として解くことはできます。しかし、数学の考えや、関数の概念ができていないままで、機械的にこなすケースが多いです。
そして、ここで分からなくなる大きな原因の一つが、その前の方程式までが身についていないことです。特に、文字の式を使って、計算や式で表すこと。これらの数学の基本が身につかないまま、先に進めると混乱します。
というのも、私自身の指導で、数多く失敗して分かったことです。ですから、夏から９月にかけて、しつこく文字の式と方程式をしてきました。
関数とは？
関数とは、「ともなって変わる２つの変数X、yがあって、Xの値を決めると、それに対応してyの値がただ１つに決まるとき、yはXの関数であるという。」と教科書にあります。
この決められ方が、関数なのですが、よくブラックボックスで説明されます。
Xの値を箱にINPUTします。すると、箱の中で何かが行われて、yの値がOUTPUTします。
例えば、X＝２を入れると、ｙ＝４が出てくる。また、ｘ＝３のときは、ｙ＝６でする。この時、箱の中では「２倍しろ」という命令が出ています。このとき、式はｙ＝２ｘとなり、これが比例です。何かしら「数に関係する」のが関数です。
比例の式
ｙ＝ａｘ が比例の式です。ｘとｙは変わるので変数、ａはきまった数で定数(比例定数)といいます。先ほどの例では、ａ＝２です。これらの変数、定数などの数学用語がよく分からないと、理解が難しくなります。
塾では、時間もないので、軽く流されがちです。それは、私も同じです。学校ではないので、くどくどと説明もしません。先程のブラックボックスもそうです。ごく簡単に、さらりと言うくらいです。
そして、比例の式を求める問題です。例えば、「ｙはｘに比例し、ｘ＝４のときｙ＝－１２である。ｘとｙの関係を式に表しなさい。」
教科書的な解き方はこうです。
比例の式ｙ＝ａｘに、ｘ＝４、ｙ＝－１２を代入する。－１２＝４ａとなり、この方程式を解いて、ａ＝－３。よって、求める式はｙ＝－３ｘ
これを、気の利いた塾なら、比例の式と同時に、ａ＝ｙ÷ｘと教えます。この問題だと、ａ＝(－１２)÷４＝－３となり、ｙ＝－３ｘです。
私も昔は、この方法を教えていました。別に悪くはないのですが、教科書の解き方が重要です。多少時間がかかりますが、数学的な思考を身につけるには必要だからです。
塾ですから、解ければいいのですが、時間がたつとすぐに忘れます。そして、反比例と混じって、できなくなります。
比例の意味を理解する
先程のブラックボックスの例で分かるように、比例とは「何倍かされる」ということです。これが理解していれば、先ほどの問題も、読んだ瞬間にわり算をして、式が分かります。
実際に、私の解説のあと、多くの生徒さんは式がすぐ分かります。しかし、あえて教科書の解き方で解きます。
昔勤めていた塾で、この関数のくだりを授業で話していたら、授業を止められて、余計なことを話すなと怒られました。
そんなこと話しても分からないと。かなり抑えて簡単に話していたつもりでしたが、多少は理解もした方がいいのではと思いました。塾だから、ということでした。
さらに、２つ目の解き方で解説したところ、教科書のやり方で教えろと激怒されます。まあ塾の方針で従うべきですし、今は教科書のやり方で指導します。一応、比例とは何かも言います。
これと似たようなことが、中２の一次関数でも起こります。それはまたの機会に。