今回は「一次関数～中２数学」です。中１の比例に続き、関数です。比例と同様に、塾で、どこまで理解するのか。限られた時間で、いかに指導するのか難しい単元です。
一次関数は難しい？
中学数学で、一次関数は難しく、ここで出来不出来が大きく分かます。長年塾で指導していますが、一次関数は鬼門といえます。
理解して、問題を解けて、さらに応用問題までできるようになるのが非常に難しいです。今まで苦労することが多かったです。
この「一次関数」の導入は、講師や塾の力量が問われます。動画で、この導入を見ると、個性的で工夫しているものが多いです。何か熱を帯びてますね。
ただ、本当にそうなのかなとも思います。難しいのは、一次関数だけではありません。また、ここまでの単元の定着がないと、一次関数では苦労します。例えば、計算ができないと、式を求めるのも危ういです。
それに、中１の比例同様に、関数とは？一次関数とは？が分かっていないと、ただの作業になります。
ということで、一次関数の式はｙ＝ａｘ＋ｂですが、ａの傾き、ｂの切片って何？となります。
一次関数の意味
教科書の例題から。
「底から８ｃｍの高さまで水がはいった水そうに、１分間に２ｃｍの割合で水面が高くなるように水を入れます。水を入れはじめてからの時間をｘ分、底から水面までの高さをｙｃｍとします。」
このときの表は上のようになります。式はｙ＝２ｘ＋８と一次関数になります。このとき、２は増え方(ｘが１増えるごとの)を表します。そして、８ははじめの値(ｘ＝０のとき)を表します。
この２と８が表す意味が、一次関数の根本にあります。ｙ＝ａｘ＋ｂで、ａは増え方や減り方を表します。マイナスなら減ります。そして、ａを「変化の割合」または「傾き」といいます。
変化の割合の意味
変化の割合は、「増え方or減り方」(ｘが１増えたときの)です。別名、傾きです。坂道で、傾きが大きいと、急な上り坂になります。マイナスだと、下り坂になります。
グラフでいうと、プラスだと右上がり、マイナスだと右下がりになります。
上のように、変化の割合＝ｙの増加量÷ｘの増加量という式になります。グラフだと、たて÷横です。
例えば、変化の割合が２とは、右に１増えると上に２増えます。結構、急に増えます。このように、図で変化の割合を理解しましょう。
ｙの増加量を求める
そして、よくある問題が下です。ｙの増加量を求める問題です。
変化の割合の式から、ｙの増加量＝変化の割合×ｘの増加量という式になります。これにあてはめて、機械的に求めることが多いです。変化の割合＝ａですから、ｙ＝ａｘと覚えます。
これが何を意味しているのか。上の図のように、グラフで理解します。変化の割合が、２というのは、右に１増えると上に２増えます。では、右に３増えたら、上にいくつ増えますかということです。図の？を求めます。それは、２の３倍で６です。
ここまで詳しくは、塾でも言いません。またですが、昔勤めていた塾で、ここを詳しく説明していると、するなと止められました。そのときは無視して続けましたが、実際に分かりにくいです。
一次関数に入ったところで、こういう難しめの概念を言われても、実際にはぴんと来ません。もっと一次関数を習って、グラフや式を求めるなど練習をした後に、振り返ると理解できます。
ですから、最初の段階で完璧に分かろうとせずに、時間をおくことも必要です。最初は、何となくそんな感じなんだくらいでいいです。