今回は「数Ｂ統計～二項分布から正規分布へ」です。
高校数学の新課程「統計的な推測」。
「二項分布」「正規分布」と今一歩具体的なイメージがわかず、ピンときません。
文字が多く、公式がいくつもあり、それを使うのですが。
今回は、よりイメージがわくよう掘り下げます。
二項分布→正規分布→標準正規分布
統計的な推測は、この順番に直して調べていきます。
「二項分布とは、成功か失敗の2つの結果しかない試行を独立に n 回行ったとき、特定の結果が起こる回数が従う確率分布。」
例えば、コインを10回投げて、表が出る回数と確率の分布。数Ａの確率で、反復試行の確率でしました。
そして、これを正規分布に直せます(近似的に)。
、「正規分布とは、平均値のまわりにデータが最も多く集まり、左右対称の釣鐘状の形になる代表的な確率分布のことです。」
さらに、先の例だと、期待値が10×1/2=5、分散が10×1/2×(1-1/2)=2.5 を、期待値0、分散1にしたのが標準正規分布です。
「標準正規分布とは、平均値（期待値）が0、分散（標準偏差）が1である、左右対称の釣鐘型の確率分布 N(0, 1) のことです。」
そして、正規分布表を参照して調べます。
少し分りにくいですね。より具体例で考えましょう。
コインを100回投げて、表が60回出た
この例で考えましょう。
100回投げると、表は50回出ます。60回は多いのですが、それは多いと言えるのでしょうか。それとも、誤差の範囲内で多くないと言えるでしょうか。
すなわち、このコインはいかさまかどうか。
まず二項分布。100回投げて、表が出る確率が1/2。
n=100、p=1/2 で二項分布Ｂ(100、1/2)に従います。
期待値mと標準偏差σを公式で求めます。
そして、それを正規分布に変えます。Ｎ(ｍ、σ²) にあてはめます。
さらに、Ｚ=(Ｘ-m)/σ にあてはめて、Ｚを求めます。これで標準正規分布です。
正規分布表を見ます。先に求めたＺ=2 を u=2.0 で調べます。
0.4772 とあります。すなわち、0.5－0.4772＝0.0228 の確率です。
わずか、2.28％
100回以上投げて、60回以上表が出る確率は2％ちょいです。
100回中60回表が出るのは、結構確率が低く、めったに起きません。このコイン怪しいですね。
このコイン表1/2といえる？
表が1/2とは言いづらいですね。
ここで「信頼区間」「棄却域」が出てきます。
よく95％で考えます。信頼区間が95％なら、まあ許せるでしょうと。
また、棄却域5％はあり得ないのでだめと。
100回中60回は、2.28％しか起きないので、信頼区間に入らない。5％未満で棄却域に入りダメというわけです。
結論。表が 1/2 とは言えないです。
偏差値
さて、高校数学の統計では、偏差値まで扱いません。
偏差値まで分かると、よりイメージがわきます。
先ほど求めた「Ｚ」を用いて…
50＋Ｚ×10 で求められます。
ですから、100回中60回出る偏差値は
50＋2×10＝70 となります。
つまり、上位2.28％、偏差値70で優秀です。
ちなみに、100回中65回で
Ｚ＝(65－50)÷5＝3
偏差値は、50＋3×10＝80で、上位0.135％です。