今回は「－×－が＋になぜなる？」です。
(ー２) × (ー３) ＝＋６
なぜ、マイナスとマイナスをかけるとプラスになるのでしょうか。
説明①
まず、２× ( －３)
数直線で説明します。
０の右に２をとります。もし３をかけるなら、そのまま右に３倍拡大します。すなわち、２×３＝＋６です。
(－３) をかけるということは反対に左に３倍拡大します。すなわち、－６です。
では、(ー２) × (－３)
数直線上の０の左側にー２をとります。そして、－３をかけるのですが、反対の右方向に３倍拡大します。すなわち、＋６です。
－をかける→反対方向に拡大と考えます。
説明②
２×(－３)
２×２＝４、２×１＝２、２×０＝０ですね。
かける数を２、１、０と減らしていくと、積は４，２，０と２ずつ減っていきます。
ということは、続けて、２×(－１)、２×(－２)、２×(－３)…は、－２、－４、－６…と減っていきます。すなわち、－６です。
同じようにして、(－２)×(－３)
(ー２)×１＝－２、(－２)×０＝０…とかける数を１、０と減らすと、積はー２、０と２ずつ増えます。
続けて、(－２)×(－１)、(－２)×(－２)、(－２)×(－３)…としていくと、積は２、４、６…となります。
すなわち、(－２)×(－３)＝＋６です。
教科書の説明
実は、上記の①②ともに、教科書の説明です。
①の方は、少し意味を加えて、なぜプラスになるのかに触れています。
また、②の方は、そうしないとつじつまが合わないでしょう、そう決めてるんですよという定義です。
数学は、まず定義があって、設定を決めて展開していきます。
なぜ？ではなく、そう決めているんですね。
例えば、高校数学にでは、２⁰(２の０乗)とか出てきます。
２を０回かける？ １回もかけないから２？
２³＝８、２²＝４、２¹＝２となります。つまり、指数が１ずつ下がると、１/２になります。
すなわち、２⁰＝１です。
そこに、意味があるわけがありません。そう定義(設定)しないと矛盾が生じます。以下、２のー１乗は１/２になります。
２のー１乗は、２の１乗(２倍)と逆方向に考えて、１/２とこじつけて考えることはできます。
－×－が＋になる理由はいらない？
後付けで、色々理由づけはできます。
例えば、－２を「道を歩いていて２万落とす」とします。
(－２)×３は「２万落とすを３回くり返す」ので、－６となります。
では、(－２)×(－３)は？
右のマイナスは、時間を逆にして過去にします。２万を３回落とす前の最初に戻せば、６万得だよね。だから、＋６…
ちょっと、無理やり感がありますね。こじつけ感があります。
そうやって、理由を考えることはそれほど大切だと思いません。
ああなるほど、だから＋になるのか…とならないのでは…
余計なこじつけはせず、定義として設定を覚えるべきです。
定義は覚えて、公式は導く？
というように、数学では多くの定義(設定)があります。
そう決めて、そこから論理をつなげていきます。
なぜそうなるかと考えることは大事ですが、定義に意味ない時多いです。そういうものだと受け止めて、難しく考えない方がいいときもあります。
そして、公式は導く…。もちろん、頻出の公式は覚えるべきです。一々導くのは大変です。
数学は原理原則から理解は大切ですが、多くは定義から始まります。そこに意味を求めると、混乱することもあります。
マイナス×マイナスはプラスなんです。シンプルに。